初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有限次乘方、有限次开方）及有限次函数复合所产生，并且能够用一个能析式表示的函数。以下是一些不是初等函数的例子：
符号函数：
也被称为阶跃函数，它在x=0处有一个不连续点。
狄利克雷函数：
它在整数点取值为1，在非整数点取值为0。
误差函数：
也被称为erf函数，是概率论中常用的一个函数。
Weierstrass函数：
是一个具有无限不连续点的分段函数。
取整函数：
也被称为地板函数，它在x取整数值时取整，在x取非整数值时取x的整数部分。
指数函数：
如e^x。
自然对数函数：
如ln x。
三角函数：
如sin x, cos x, tan x。
反三角函数：
如arcsin x, arccos x, arctan x。
反双曲函数：
如arcsinh x, arccosh x, artanh x。
伽马函数：
如Γ（x）。
ζ函数：
如ζ（x）。
需要注意的是，有些分段函数，如由初等函数复合而成的函数，可以是初等函数。例如，函数f（x） = |x|，可以表示为f（x） = （x^2）^（1/2），是由y = u^（1/2）和u = x^2复合而成的，因此是初等函数。